Circunferencias (Algebra Superior).

Question

Definición B(P, r) = { x | d(P,x)<=r } donde d(P, x) es la distancia de P a x.

Probar que

B(P,r) es subconjunto de B(P, r') si y sólo si r<=r' .

Primero probaré que: B(P, r ) es subconjunto de B(P, r') implica que r<=r'

Demostración

 B(P, r) es subconjunto de B(P, r')

x pertenece a B(P,r) y x pertenece a B(P, r')

Así B(P, r')={ x | d(P,x)<=r')

 Como d(P,x) pertenece a B(P, r') y d(P,x) pertenece a B(P, r)

Tenemos que   d(P,x)<=r    y    d(P,x)<=r'.

Luego d(P,x) -d(P,x)<=r' - r.                                                   Q.E.D.
 

Les agradecería que me ayudarán.

P.D. Aunque me parece que tendría que abordarlo con distancias [ con d(P,x) y luego asociarlo con el radio r' de alguna manera] pero tengo mis dudas sobre si es correcto ésta manera en que lo realice. Y disculpen por no poner los símbolos que corresponden pero no sé LaTeX, estoy trabajando en eso.

Answer 1

Definición $B(P, r) =\{ x | d(P,x)\leq r \}$ donde $d(P, x)$ es la distancia de $P$ a $x$.

Demostrar  que

$B(P,r)$ es subconjunto de $B(P, r')$ si y sólo si $r\leq r'$.

Demostración:

$\Rightarrow )$

Supongamos que $B(P,r)$ es subconjunto de $B(P, r')$.

Sea $y\in B(P,r´)\backslash B(P,r)$ y $x\in B(P,r)$ ,  por la desigualdad del triángulo se tiene que
$$d(P,x)\leq d(P,y)+d(x,y) \,\, \forall x,y$$
Por lo tanto $r \leq r'$.

$\Leftarrow )$

Supongamos que $r\leq r'$, si $x\in B(P,r)$ se tiene que $d(P,x)\leq r\leq r'$ lo que implica que

$x\in B(P,r')$.

Comments

$B(P,r)\setminus B(P,r')$ podría ser vacío, por lo que tu $y$ de la ida podría no existir.

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Asi es, gracias.

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Ramiro, gracias. Y disculpa no haberlo puesto con LaTeX.

Answer 2

Tu demostración está mal redactada al menos, porque escribiste que "$d(P,x)$ pertenece a $B(P, r')$ y $d(P,x)$ pertenece a $B(P, r)$", que está mal porque las distancias son números y los elementos de las bolas son puntos del espacio en el que estás trabajando.

El resultado es falso en general, es decir, existen espacios métricos en los que $B(P,r)=B(P,r')$ (en particular $B(P,r)\subset B(P,r')$ y $r>r'$. Por ejemplo, en los enteros $B(0,0.9)=B(0,0.5)=\{0\}$.

Pero el resultado es cierto en $\mathbb{R}^n$. Para ver esto tienes que notar que $\mathbb{R}^n$ tiene la peculiar propiedad que dados un punto $P$ y un real positivo $r$ siempre existe un punto a distancia $r$ de $P$. Para construir ese punto puedes tomar $P+(r,0,\ldots,0)$.

Supongamos que $B(P,r)\subset B(P,r')$. Por la observación anterior existe $Q$ tal que $d(P,Q)=r$, en particular $d(P,Q)\leq r$ por lo que $Q\in B(P,r)$. Por contención $Q\in B(P,r')$. Como $Q\in B(P,r')$ se tiene que $d(P,Q)\leq r'$, pero por construcción $d(P,Q)=r$. Entonces $r\leq r'$.

Para la otra implicación lo haces como dijo Ramiro y esto funciona en general (para cualquier espacio métrico).

Comments

Te agradezco,  y sobre todo que me indicarás el error que cometí sobre las distancias.