Probabilidad con dado

Question

Un dado ha sido modificado de manera que la probabilidad de obtener un número es proporcional al cuadrado del número que le corresponde. Si se lanza este dado, halle la probabilidad de observar el número tres en la cara superior de este dado.

Answer 1

Me imagino que estamos hablando de un dado usual, con seis caras. Entonces, si $P(n)$ es la probabilidad de obtener el número $n$, y llamamos $\alpha$ a la constante de proporcionalidad (de manera que $P(n)=\alpha n^2$), tendremos que la probabilidad total viene dada por:

$1=P(1)+\cdots+P(6)=\alpha\cdot 1^2+\cdots+\alpha\cdot 6^2=\alpha\displaystyle{\sum_{i=1}^6 i^2}=\alpha\cdot 91,$

con lo cual $\alpha=\frac{1}{91}$ y por ello $P(3)=\alpha\cdot 3=\frac{3}{91}$.

Si de pura casualidad te salen con que el dado tiene algún otro número de caras, digamos, $m$, entonces haces exactamente el mismo cálculo y al final usas que $\sum_{i=1}^m=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ para determinar el valor de $\alpha$.