¿Cuándo pasa que $a^b=b^a$ para $a<b$?

Question

Sean $a,b$ números reales distintos de cero tales que $a < b$. Considere el conjunto $P$ de parejas $(a,b)$.

• ¿Cuál es el conjunto $S \subset P$ que satisfacen la ecuación $a^b=b^a$?

Nota: El conjunto solución no es vacío ya que $2^4=4^2$, es decir, la pareja $(2,4)$ está en $S$.

Comments

ver http://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn=0013-6018&vol=55&iss=3&rank=2

Answer 1

Respuesta: $S$ es el conjunto de parejas $(a,b)$ donde $a \in (1,e)$ y $b \in (e,\infty)$ con $b=\frac{W^-(-\ln (a)/a)}{-\ln (a)/a}$ donde $W^-$ es la rama inferior de la función $W$ de Lambert.

 

Prueba: Para justificar la respuesta primero debemos decir que $W$ es la función inversa de $f(w)=we^w$ donde $e$ es la función exponencial y $w$ es cualquier número complejo (en este caso $w$ es un número real). Cabe aclarar que $W$ no se puede expresar en términos elementales y es una función multivaluada ya que $f$ no es inyectiva, por lo que se tiene que tener cuidado en su dominio. Es claro que $f$ no tiene máximo, pero si tiene mínimo en $f'(w)=we^w+e^w=0$, es decir en $w=-1$, entonces llamamos $W^+$ a la rama de $W$ para $w\geq -1$ y $W^-$ a la otra rama.

 

Como $a^b=b^a$ implica que $(a^{1/a})^b=b$ entonces $1=b(a^{-b/a})=be^{-b\frac{\ln (a)}{a}}$. Con esto obtenemos que $\frac{-\ln (a)}{a}=-b\frac{\ln (a)}{a}e^{-b\frac{\ln (a)}{a}}=f(-b\frac{\ln (a)}{a})$, por lo tanto $W(\frac{-\ln (a)}{a})=-b\frac{\ln (a)}{a}$. Finalmente obtenemos que $b=-\frac{a}{\ln (a)}W(-\frac{\ln (a)}{a})$.

 

Ahora bien, como $a \in (1,e)$ entonces $-\frac{\ln (a)}{a} \in (-\frac{1}{e},0)$ por lo que $W(-\frac{\ln (a)}{a})$ es doblemente valuada. Por un lado sabemos que un posible valor para $W(-\frac{\ln (a)}{a})$ es $-\ln (a)$ ya que $a^b=b^a$ para $b=a=-\frac{a}{\ln (a)}W(-\frac{\ln (a)}{a})$, de lo cual se deduce que $w=-\ln (a) > -1$ para $a \in (1,e)$, entonces $W^+(-\frac{\ln (a)}{a})=-\ln (a)$.

 

Por otro lado, pedimos que $b\not = a$, por lo que el valor que buscamos está dado por $W^-$. QED.

 

Nota: El indicio para ocupar la función $W$ de Lambert lo obtuve de aquí: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=144929. Para saber un poco más de esta función, puedes checar wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_W_de_Lambert.

Answer 2

Respuesta parcial.

Si pides que $a$ y $b$ sean enteros o bien racionales la única solución es $(2,4)$. Aca la justificación: http://mathforum.org/library/drmath/view/67256.html, o bien http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Algebra.RationalSolutionOfXYYX#SCY, o bien http://mathforum.org/library/drmath/view/66166.html, o bien http://mathschallenge.net/full/exponential_symmetry.

Ahora bien, para dar un poco de intuición al asunto, observemos que $a^b=b^a$ es equivalente a pedir que $\frac{a}{ln(a)}=\frac{b}{ln(b)}$. Al graficar la función $f(x)=\frac{x}{ln(x)}$ te hace evidente que para todo real mayor que $1$ tiene una pareja en $S$, excepto para el mínimo de $f(x)$ que es $e$, es decir, el cardinal de $S$ no es finito. Entonces los elementos de $S$ son de la forma $(a,b)$ donde $a \in (1,e)$ y $b \in (e,\infty)$.

La respuesta es parcial ya que falta encontrar la función explícita.