Respuesta: $S$ es el conjunto de parejas $(a,b)$ donde $a \in (1,e)$ y $b \in (e,\infty)$ con $b=\frac{W^-(-\ln (a)/a)}{-\ln (a)/a}$ donde $W^-$ es la rama inferior de la función $W$ de Lambert.
Prueba: Para justificar la respuesta primero debemos decir que $W$ es la función inversa de $f(w)=we^w$ donde $e$ es la función exponencial y $w$ es cualquier número complejo (en este caso $w$ es un número real). Cabe aclarar que $W$ no se puede expresar en términos elementales y es una función multivaluada ya que $f$ no es inyectiva, por lo que se tiene que tener cuidado en su dominio. Es claro que $f$ no tiene máximo, pero si tiene mínimo en $f'(w)=we^w+e^w=0$, es decir en $w=-1$, entonces llamamos $W^+$ a la rama de $W$ para $w\geq -1$ y $W^-$ a la otra rama.
Como $a^b=b^a$ implica que $(a^{1/a})^b=b$ entonces $1=b(a^{-b/a})=be^{-b\frac{\ln (a)}{a}}$. Con esto obtenemos que $\frac{-\ln (a)}{a}=-b\frac{\ln (a)}{a}e^{-b\frac{\ln (a)}{a}}=f(-b\frac{\ln (a)}{a})$, por lo tanto $W(\frac{-\ln (a)}{a})=-b\frac{\ln (a)}{a}$. Finalmente obtenemos que $b=-\frac{a}{\ln (a)}W(-\frac{\ln (a)}{a})$.
Ahora bien, como $a \in (1,e)$ entonces $-\frac{\ln (a)}{a} \in (-\frac{1}{e},0)$ por lo que $W(-\frac{\ln (a)}{a})$ es doblemente valuada. Por un lado sabemos que un posible valor para $W(-\frac{\ln (a)}{a})$ es $-\ln (a)$ ya que $a^b=b^a$ para $b=a=-\frac{a}{\ln (a)}W(-\frac{\ln (a)}{a})$, de lo cual se deduce que $w=-\ln (a) > -1$ para $a \in (1,e)$, entonces $W^+(-\frac{\ln (a)}{a})=-\ln (a)$.
Por otro lado, pedimos que $b\not = a$, por lo que el valor que buscamos está dado por $W^-$. QED.