Seguramente mi visión es muy sesgada, porque yo no soy combinatoriólogo, pero mi sensación es que la palabra "combinatoria" se refiere en sí a las ideas detrás de la noción de contar, o de manipular expresiones: así, hablamos de "la combinatoria de $\mathbb R$" o de "la combinatoria de los cardinales singulares", o de "la combinatoria de $\omega_1$". El término "matemáticas discretas", por otro lado, hace referencia a las matemáticas cuyo objeto de estudio (sin importar el método) son los conjuntos hereditariamente finitos.
Así, las técnicas de conteo "clásicas", en tanto se aplican para obtener cosas como los coeficientes binomiales, constituirían "la combinatoria de las matemáticas discretas", pero también tenemos combinatoria infinita, combinatoria en cardinales grandes, combinatoria aditiva y/o algebraica, y otras cosas como la combinatoria del forzamiento.