¿Qué es la Combinatoria?

Question

Ayer, un estudiante me abordó con esa pregunta... no me extraña su confusión, pero cómo explican a un alumno de matemáticas lo qué es y lo que no es la Combinatoria...

La siguiente pregunta del estudiante fue: ¿Cuál es la diferencia con Matemáticas Discretas?

Antes de ir a Wikipedia, comenten qué entienden por Combinatoria.

Answer 1

Yo entiendo que la combinatoria es la rama de las matemáticas que tiene que ver con patrones en conjuntos, especialmente discretos. Las preguntas que aborda pueden refererirse a la  existencia de cierto patrón, el número de dichos patrones o las formas más eficientes de generar determinado patrón. Esa pregunta se la plantea Peter Cameron al inicio de su libro "Combinatorics: Topics, themes and algorithms" ahí esboza alguna ideas interesantes. Una noción que me gusta es la de ver a la combinatoria como una "gran red" que conecta áreas muy dispares de las matemáticas.

Answer 2

Seguramente mi visión es muy sesgada, porque yo no soy combinatoriólogo, pero mi sensación es que la palabra "combinatoria" se refiere en sí a las ideas detrás de la noción de contar, o de manipular expresiones: así, hablamos de "la combinatoria de $\mathbb R$" o de "la combinatoria de los cardinales singulares", o de "la combinatoria de $\omega_1$". El término "matemáticas discretas", por otro lado, hace referencia a las matemáticas cuyo objeto de estudio (sin importar el método) son los conjuntos hereditariamente finitos.

Así, las técnicas de conteo "clásicas", en tanto se aplican para obtener cosas como los coeficientes binomiales, constituirían "la combinatoria de las matemáticas discretas", pero también tenemos combinatoria infinita, combinatoria en cardinales grandes, combinatoria aditiva y/o algebraica, y otras cosas como la combinatoria del forzamiento.

Answer 3

Yo entiendo a la combinatoria como un conjunto de técnicas matemáticas que se utilizan para contar objetos discretos y finitos. Contar objetos, por ejemplo, como en mi área, geométricos, incidencias entre estos objetos, objetos que cumplan ciertas condiciones ya sea, por ejemplo, el número de objetos con menor o mayor área, etc. La combinatoria, yo diría, que es un área de las matemáticas en la que el objeto de estudio es contar objetos discretos y finitos.