La cerradura de los homeomorfismos del intervalo [0,1]

Question

Sea $C[0,1]$ el espacio de Banach de las funciones continuas del intervalo $[0,1]$ a los reales con la norma del supremo.

Sea $H \subset C[0,1]$ el subconjunto de los homeomorfismos de $[0,1]$  en $[0,1]$.

Caracterizar a la cerradura $\bar{H}$  de $H$:

1) $\bar{H}$ tiene dos componentes conexas

2) $\bar{H}$ consiste del conjunto de las funciones monótonas de $[0,1]$  sobre $[0,1]$.

Answer 1

Llamemosle $H_i$ al conjunto de funciones en $H$ tales que $f(0)=i$ con $i=0,1$. Es claro que cada homeomorfismo es en particular una función monotona y que si $f \in \overline{H_i}$ entonces $f(0)=i$. Usando esto tenemos que cualquier combinacion convexa de dos elementos en $H_i$ también esta en $H_i$, por lo que $\overline{H_i}$ es conexo. Si $f \in \overline{H_1}$, entonces la imagen de $\overline{H_0} \cup \{f\}$ bajo el funcional continuo $\delta_0$ es el conjunto formado por el $0$ y $1$, por lo que $\overline{H_0} \cup \{f\}$ no es conexo y por tanto $\overline{H_i}$ es una componente conexa de $\overline{H}$. Como $\overline{H}=\overline{H_0} \cup \overline{H_1}$, obtenemos 1).

Para 2), considerando una sucesion en $H$ que converge a $f$. Eventualmente nuestra sucesión se "mete" a una componente conexa y entonces $f$, al ser el limite uniforme de la sucesión, es creciente o decreciente (dependiendo de componente conexa). Tomando una función monotona $f$, sabemos que el conjunto formado por los puntos donde su derivada es cero tiene a lo mas una cantidad numerable de componentes conexas, entonces podemos modificar a nuestro gusto la funcion $f$ de modo que para cada $\epsilon >0$ obtengamos una función estrictamente monotona $g$ con $||f-g||_\infty < \varepsilon$.

Comments

Me parece muy bien la respuesta aunque tal vez habría que explicaral lector  un poco más. Por ejemplo se usa el teorema de que toda función continua y monótona es derivable casi dondequiera. Pero en forma concreta, por ejemplo como se modifica la función "escalera del diablo" (derivada cero el el complemento del conjunto de Cantor) para hacerla estrictamente monótona.
Mi pregunta está dirigida a entender un viejo resultado de Larry Siebenmann en su artículo:
"Approximating Cellular maps by homeomorphisms"
L. C. Siebenmann, Topology, 11 (1972), 271-294.
Ver el artículo:
"Approximating cellular maps between low-dimensional polyhedra."
James P. Henderson
Source: Pacific J. Math. Volume 101, Number 2 (1982), 321-331.

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¿Y los que no sabemos quién es el funcional continuo $\delta_0$?

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Tradicionalente es el funcional delta de Dirac, que en este caso significa evaluar en 0