Problema de curvas

Question

Una curva en el espacio $\alpha:I\to \mathbb{R}^{3}$ parametrizada por longitud de arco con $k(s)>0$ para cada $s\in I$ se dice que es una helice generalizada si todas sus lineas tangentes forman un angulo constante con una direccion fija, es decir, existe un vector unitario $v\in \mathbb{R}^3$ tal que $\alpha'(s)\cdot v$ es constante. Probar que $\alpha$ es una helice si y solo si existe una constante $c\in \mathbb{R}$ tal que $\tau (s)=ck(s)$ para todo $s\in I.$

Hola, cual es el procedimiento a seguir para este problema?

Answer 1

Con la notación usual $T=\alpha'$, el vector tangente, $N, B$ el normal y el binormal respectivamente.

Usa las ecuaciones de Frenet- Serret y que $T(s)\cdot v = c_1 = const$, derivando:

$0=T'(s)\cdot v = \kappa(s)(N(s)\cdot v)$. Como $\kappa \neq 0$, $N(s)\cdot v = 0$. De nuevo derivando:

$0=N'(s)\cdot v= (-\kappa(s)T(s)+\tau(s)B(s))\cdot v$, por lo que $\tau(s)(B(s)\cdot v) = \kappa(s)c_1$. Una vez más derivando ahora $\tau(s)(B(s)\cdot v)$ por un lado tienes $\kappa'(s)c_1$ y por otro:

$\tau'(s)(B(s)\cdot v) + \tau(s)(B'(s)\cdot v)=\tau'(s)(B(s)\cdot v) - (\tau(s))^2(N(s)\cdot v)$, usa que $N(s)\cdot v = 0$, juntando las dos expresiones

$\kappa'(s)c_1 = \tau'(s)(B(s)\cdot v)$. Observa que puedes suponer $c_1 \neq 0$ pues si es cero siempre, la curva está contenida en un plano y $c = 0$ es tal que $\tau = c\cdot\kappa$. Entonces si $c_1\neq 0$, se tiene $\tau(s) \neq 0$.

Se sigue que $\kappa'(s)c_1 = \frac{\tau'(s)}{\tau(s)}(\kappa(s)c_1)$. De aquí obtienes que $\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)}=\frac{\tau'(s)}{\tau(s)}$ resolviendo la ecuación obtienes que $\tau(s)=c\kappa(s)$ con $c$ constante.

Para el regreso nota que de existir un vector $v$ como el buscado, entonces es ortogonal al vector normal. Si $\tau=c\kappa$, tomamos $v = cT+B$ y vamos a ver que es un vector fijo y preserva el ángulo.

Si derivamos $v$, obtenemos $v' = cT'+B' = c\kappa N-\tau N=0$ de donde $v$ es un vector fijo, además $\frac{d}{ds}(T\cdot v) = \kappa (N\cdot v) = 0$ que dice que existe una dirección fija tal que todas las líneas tangentes forman un ángulo constante.