La pregunta busca demostrar que si u es solución del problema de valores de frontera dado por:
\Delta u(x) = 0, en \Omega, donde \Omega = B_R^2(0;1) es el círculo de radio R y centrado en el origen.
(ux^2 + uy^2) u = 0, en \partial\Omega
Entonces u es constante.
Para hacer esto, seguiremos estos pasos:
- Escribimos la ecuación de Laplace en coordenadas polares y encontramos su solución general.
- Utilizamos la condición de contorno en el borde del dominio para obtener una ecuación que satisface la solución general.
- Mostramos que la única solución a esta ecuación particular es la solución constante, lo que prueba que u es constante.
Paso 1:
En coordenadas polares, la ecuación de Laplace (\Delta u = 0) toma la forma:
1/r · (r · u_r)_r + 1/r^2 · u_θθ = 0
Podemos buscar una solución de la forma u(r,θ) = R(r) · Θ(θ). Sustituyendo esta solución en la ecuación anterior, podemos dividir ambos lados de la ecuación por R(r) · Θ(θ), y obtenemos dos ecuaciones separadas:
1/r · (r · R')' + (1/r^2 · Θ'') · R = 0
∇2Θ/Θ + r^2(∇2R)/R = 0
La primera ecuación solo depende de la variable radial r, mientras que la segunda solo depende de la variable angular θ. Para que ambas ecuaciones sean válidas, cada término debe ser igual a una constante separada, es decir:
1/r · (r · R')' = -λ · R
∇2Θ + λ · Θ = 0
La segunda ecuación es la ecuación diferencial de Laplace para la variable angular θ. Como \Theta(θ) debe tener una periodicidad de 2π, la solución general para Θ(θ) es:
Θ(θ) = a_0 + ∑ (a_n cos(nθ) + b_n sin(nθ))
donde n = 1, 2, 3, ... y a_0, a_n, b_n son constantes arbitrarias.
Para la otra ecuación, podemos encontrar su solución general utilizando la sustitución R(r) = r^k:
R(r) = c_1 r^k + c_2 r^(-k-1)
donde k puede ser cualquier constante que satisfaga la ecuación λ = k(k+1).
Paso 2:
Podemos utilizar la condición de contorno en el borde del dominio para encontrar una ecuación que satisface la solución general. En este caso, se nos da:
(ux^2 + uy^2) u = 0 en el borde del círculo.
El borde del círculo de radio R se puede escribir en coordenadas polares como r = R. Entonces, sustituyendo la solución general encontrada en este punto, obtenemos:
(R^2 · Θ'(θ))^2 · (R^k · (c_1 k + c_2 R^(-2k-1))) = 0
Lo cual implica:
(R^2 · Θ'(θ))^2 = 0
Esto sucede solo si Θ'(θ) = 0, ya que R(r) no puede ser cero para r = R y k no puede ser igual a cero o negativo. Por lo tanto, Θ(θ) = constante.
Paso 3:
La única solución para Θ(θ) constante es que Θ(θ) = a_0. Esto se debe a que Θ(θ) debe ser periódico con un período de 2π, lo que significa que cualquier constante que no sea cero se sumaría ad infinitum.
Entonces, la solución general para u(r, θ) es:
u(r, θ) = R(r) · a_0 = (c_1 r^k + c_2 r^(-k-1)) · a_0
Por lo tanto, u es una función constante a lo largo del borde del círculo, y según la extensión por continuidad de la solución, lo es en todo el dominio. Por lo tanto, se cumple que u es constante.
