(... CONTINUACIÓN)
Hice algunos experimentos con Mathematica. Para cada $n \in (1,10^{5}]=:\mathcal{I}$, calculé la reducción módulo $12$ de la diferencia $d_{n}:=p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2}$ donde $p_{k}$ denota aquí al $k$-ésimo número primo. Los resultados que obtuve son los siguientes:
* $p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2} \equiv 0 \pmod{12}$ para $26\,719$ números enteros del intervalo $\mathcal{I}$;
* $p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2} \equiv 2 \pmod{12}$ para $13\,350$ números enteros del intervalo $\mathcal{I}$;
* $p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2} \equiv 4 \pmod{12}$ para $10\,385$ números enteros del intervalo $\mathcal{I}$;
* $p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2} \equiv 6 \pmod{12}$ para $25\,027$ números enteros del intervalo $\mathcal{I}$;
* $p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2} \equiv 8 \pmod{12}$ para $14\,322$ números enteros del intervalo $\mathcal{I}$ y
* $p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2} \equiv 10 \pmod{12}$ para $10\,196$ números enteros del intervalo $\mathcal{I}$.
Como puede observarse, la expresión resultó congruente con $0$ módulo $12$ en aproximadamente $1/4$ de los casos considerados; la expresión resultó congruente con $2$ módulo $12$ en aproximadamente $1/8$ de los casos, la expresión fue congruente con $4$ módulo $12$ en aproximadamente $1/8$ de los casos, la expresión resultó congruente con $6$ módulo $12$ en aproximadamente $1/4$ de los casos y la expresión resultó congruente con $10$ en aproximadamente $1/8$ de las ocasiones.
¿Cómo se puede entender esa tendencia o distribución de las reducciones módulo $12$ de la expresión considerada?
Un número primo impar es congruente con $1$, $5$, $7$ u $11$ módulo $12$. En consecuencia, al hacer la reducción módulo $12$ de cada entrada de una cuarteta del tipo $(p_{n}, p_{n+1}, p_{n+2}, p_{n+3})$, se obtienen las $4^{4} = 256$ posibles cuartetas de entradas en $\{1, 5, 7, 11\}$. Para cada cuarteta $(a, b, c, d) \in \{1, 5, 7, 11\}^{4}$, calculé con ayuda de Mathematica la reducción módulo $12$ de $a\cdot d - b\cdot c$ y observé que los resultados (los cuales sólo pueden ser $0$, $2$, $4$, $6$, $8$ y $10$) aparecen exactamente con las frecuencias $1/4$ (el $0$), $1/8$ (el $2$), $1/8$ (el $4$), $1/4$ (el $6$), $1/8$ (el $8$) y $1/8$ (el $10$).
Quizá la duda que surge ahora es si alguna de las congruencias
$$p_{n}p_{n+3}-p_{n+1}p_{n+2} \equiv \ell \pmod{12},$$
donde $\ell$ es alguno de los elementos de $\{1, 5, 7, 11\}$, se deja de cumplir eventualmente. Asumiendo la validez de la conjetura de los números primos en $k$-tuplas, mostraremos a continuación que ello no ocurre.
- Por la conjetura de los números primos en $k$-tuplas, hay una infinidad de números de números naturales $N$ tales que
$$420 N + 73, \qquad 420N+79, \qquad 420N+83 \qquad \mbox{y} \qquad 420N+89$$
son números primos (consecutivos); los números primos en una cuarteta de este tipo satisfacen
$$(420N+73)(420N+89)-(420N+79)(420N+83) \equiv 0 \pmod{12}.$$
- Del mismo modo, de la mencionada conjetura sobre números primos en $k$-tuplas se desprende que hay una infinidad de números naturales $N$ tales que
$$84N+25, \qquad 84N+29, \qquad 84N+31 \qquad \mbox{y} \qquad 84N+37$$
son números primos consecutivos; los números primos en una cuarteta de este tipo son tales que
$$(84N+25)(84N+37) - (84N+29)(84N+31) \equiv 2 \pmod{12}.$$
- Nuevamente, por la conjetura de los números primos en $k$-tuplas podemos garantizar la existencia de una infinidad de números naturales $N$ tales que
$$60060N+ 57481, \quad 60060N+ 57487, \quad 60060N+ 57493 \quad \mbox{y} \quad 60060N+ 57503$$
son números primos (consecutivos); los números primos en esta cuartetas son tales que
$$(60060N+ 57481)(60060N+ 57503)-(60060N+ 57487)(60060N+ 57493) \equiv 4 \pod{12}.$$
- Una vez más, de la conjetura de los números primos en $k$-tuplas se desprende la existencia de una infinidad de números naturales $N$ tales que
$$660N+505, \qquad 660N+509, \qquad 660N+511, \qquad \mbox{y} \qquad 660N+521$$
son números primos (consecutivos); además, se observa que los números primos en una cuarteta de esta índole satisfacen
$$(660N+505)(660N+521)-(660N+509)(660N+511) \equiv 6 \pmod{12}.$$
- De la misma forma, la conjetura de los números primos en $k$-tuplas nos permite colegir que, para una infinidad de números naturales $N$, se cumple que
$$12012N+10735, \quad 12012N+10739, \quad 12012N+10741 \quad \mbox{y} \quad 12012N+10753$$
son números primos (consecutivos); además, no resulta difícil convencerse de que en toda cuarteta de números primos de este tipo se tiene
$$(12012N+10735)(12012N+10753)-(12012N+10739)(12012N+10741) \equiv 8 \pod{12}.$$
- Por último, la validez de la conjetura también implica(ría) la existencia de una infinidad de números naturales $N$ tales que
$$924N+661, \qquad 924N+667, \qquad 924N+673 \qquad \mbox{y} \qquad 924N+677$$
son números primos (consecutivos); además, se observa que los números primos en una cuarteta de esta índole satisfacen
$$(924N+661)(924N+677)-(924N+667)(924N+673) \equiv 10 \pmod{12}.$$
