El problema pide CALCULAR
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{3}}$
por métodos elementales, i.e., sin usar cálculo diferencial (derivadas, L'Hôpital, series de Taylor,...).
De acuerdo con lo que se lee en el sitio en línea del Rincón de Problemas, este problema fue contribuido al Dr. Gil Bor por un señor de nombre José Luz Hernández Castillo en febrero de 1998. Como pueden notar, en el sitio no aparece enlace alguno hacia una solución del problema.
El objetivo de esta discusión es doble: por un lado, averiguar si entre los usuarios de $\mathrm{El} \mbox{ } \mathrm{i}\pi\mathrm{acional}$ alguien conoce (o puede dar) una solución al problema que cumpla las restricciones impuestas por Hernández Castillo y, por otro parte, comentarles brevemente de un enfoque que, si bien evita los tópicos mencionados entre paréntesis, simplemente no terminó de convencer al Dr. Bor.
El ingrediente principal del enfoque en cuestión es el siguiente
Lema. La serie $\sum_{n=1}^{\infty} 3^{n-1}\sin^{3}\left(\frac{x}{3^{n}}\right)$ converge uniformemente a $f(x)=\frac{x-\sin x}{4}$ en $(0,\pi]$.
Demostración. Mostraremos en primer lugar que dicha serie converge puntualmente a la función $f$. De la identidad
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^{3} \theta$
se sigue que
$\sin^{3} \theta = \frac{3}{4} \sin \theta - \frac{1}{4}\sin 3\theta$
y por consiguiente
$\begin{eqnarray*}S_{k}(x) &:=& \sum_{n=1}^{k} 3^{n-1}\sin^{3}\left(\frac{x}{3^{n}}\right)\\ &=& \sum_{n=1}^{k} 3^{n-1}\left(\frac{3}{4}\sin \left(\frac{x}{3^{n}}\right)-\frac{1}{4}\sin \left(\frac{x}{3^{n-1}}\right)\right)\\ &=& \frac{3^{k}}{4} \sin \left(\frac{x}{3^{k}}\right)-\frac{1}{4} \sin x.\end{eqnarray*}$
Así, $\lim_{k \to \infty} S_{k}(x) = \frac{x-\sin x}{4}.$
Una vez que tenemos lo anterior, la convergencia uniforme de la serie a $f$ en $(0,\pi]$ se puede establecer a través del criterio M de Weierstraß. QED.
En base a esta información podemos concluir entonces que
$\begin{eqnarray*}
\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x - \sin x}{x^{3}} &=& \lim_{x \to 0^{+}}
\frac{4}{x^{3}} \sum_{n=1}^{\infty}
3^{n-1}\sin^{3}\left(\frac{x}{3^{n}}\right)\\ &=& \lim_{x \to 0^{+}} 4
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{x^{3}}\sin^{3}
\left(\frac{x}{3^{n}}\right)\\ &=& \lim_{x \to 0^{+}} \frac{4}{3}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{3}
\left(\frac{x}{3^{n}}\right)}{\frac{x^{3}}{3^{n}}}\\
&=& \lim_{x \to 0^{+}} \frac{4}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{3}
\left(\frac{x}{3^{n}}\right)}{3^{2n}\left(\frac{x}{3^{n}}\right)^{3}}\\
&=& \frac{4}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2n}}\lim_{x \to 0^{+}}
\left(\frac{\sin^{3}
\left(\frac{x}{3^{n}}\right)}{\left(\frac{x}{3^{n}}\right)^{3}}\right)\\
&=& \frac{4}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2n}}\\
&=& \frac{1}{6}.
\end{eqnarray*}$
Me despido por el momento, no sin antes exhortarles a que le echen un ojo a las propuestas del Rincón que aparecen sin solución. Van a encontrarse con unas verdaderas gemas por ahí...
