Hay $\mathfrak c$ particiones de los naturales, pues una partición es, en particular, un conjunto numerable de subconjuntos de los números naturales (dado que $\mathbb N$ es numerable, toda partición tiene a lo más $\aleph_0$ elementos), y como hay $2^{\aleph_0}=\mathfrak c$ subconjuntos de los números naturales, entonces hay a lo más
$(\mathfrak c)^{\aleph_0}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$
de ellas. Por otra parte, es claro que hay al menos $\mathfrak c$ de ellas, pues para cada subconjunto $A\subseteq\mathbb N$ se tiene la partición $\{A,\mathbb N\setminus A\}$.
Ahora, respecto a la segunda parte de tu pregunta: resulta que la respuesta es sí, dos particiones distintas generarán dos $\sigma$-álgebras distintas. La razón de esto es que la $\sigma$-álgebra generada por una partición $\mathcal P$ es "atómica", donde los átomos son los elementos de $\mathcal P$ (es decir, si $A\in\mathcal P$ entonces ningún subconjunto propio (no vacío) de $A$ puede ser elemento de la $\sigma$-álgebra generada por $\mathcal P$... esto es claro de la descripción de dicha $\sigma$-álgebra que da Omar en la respuesta a aquella otra pregunta). Así entonces, si $\mathcal P$ y $\mathcal Q$ son dos particiones distintas de $\mathbb N$, entonces es posible elegir un $n\in\mathbb N$ tal que el único $A\in\mathcal P$ que satisface $n\in A$ es distinto del único $B\in\mathcal Q$ que satisface $n\in B$. Por lo tanto $A\cap B$ es un subconjunto propio o bien de $A$, o bien de $B$ (de lo contrario tendríamos que $A=B$, contrario a nuestra elección de dichos conjuntos); supongamos sin pérdida de generalidad que es de $A$. Además $A\cap B$ es no vacío, pues contiene a $n$. Por lo tanto $A\cap B$ no puede ser un elemento de la $\sigma$-álgebra generada por $\mathcal P$; sin embargo, si dicha $\sigma$-álgebra fuera igual a la generada por $\mathcal Q$, entonces dicha $\sigma$-álgebra contendría a $A\cap B$ (pues tendría que contener tanto a $A$ como a $B$), lo cual sería una contradicción.
