Cardinales y realizaciones Geométricas

Question

Al ver esta pregunta, se me ocurrió la siguiente. ¿Qué tal si en aquella pregunta, en vez de $k\in\mathbb N$, dejamos correr el índice sobre todos los cardinales? Es decir, definimos $M(n)=\sup\{\kappa\big|K_\kappa\mathrm{\ tiene\ realización\ en\ }\mathbb R^n\}$, donde $K_\kappa$ denota la gráfica completa en $\kappa$ vértices, para cualquier cardinal $\kappa$. La respuesta de Omar Antolín muestra que, para cada $n\geq3$, $M(n)=\mathfrak c$, así que esta pregunta parece no tener demasiado interés, pero da la idea de la siguiente modificación, la cual lleva a la pregunta que realmente quiero hacer: Para cada cardinal $\kappa$, definamos

$M(\kappa)=\sup\{\lambda\big|K_\lambda\mathrm{\ tiene\ realización\ en\ }\mathbb H(\kappa)\},$

donde $\mathbb H(\kappa)$ denota el (único hasta isomorfismo) espacio de Hilbert de dimensión (o densidad) $\kappa$. ¿Será posible calcular $M(\omega)$? ¿Qué tal $M(\omega_1)$, o $M(\kappa)$ para $\kappa$ no numerable?

Comments

Tienes muchas $\kappa$ en tu definición, ¿querías decir $M(\kappa) = \sup \{ \lambda \mid K_\lambda \text{ tiene realización en } \mathbb{H}(\kappa) \}$?

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Mmm... cierto, demasiadas kapas, pero quería decir lo que tú escribiste. Acabo de editar la pregunta.