Sobre índices finitos de subgrupos

Question

Sean $H$ y $K$ dos subgrupos de $G$ tales que $H$ tiene índice finito en $G$.

Muestre que $H\cap K$ tiene índice finito en $K$ y $[K:H\cap K]\leq [G:H]$. ¿En qué caso se da la igualdad?

Answer 1

Pues ya es jueves.

Para ahorrar escritura sea $H \cap K = H'$. Considere la función $f:K/H' \to G/H$ dada por $kH' \mapsto kH$. Es bien definida y es inyectiva pues si $k_1, k_2 \in K$ entonces $k_1k_2^{-1} \in H' \Leftrightarrow k_1 k_{2}^{-1} \in H$. Esto prueba que $[K: H \cap K] \leq [G:H]$ y de paso que $[K: H \cap K]$ es finito.

Para la segunda parte tengo una condición suficiente pero ignoro si es necesaria: Si $HK$ es subgrupo (equivalentemente, si $H$ o $K$ es normal en $G$) entonces la igualdad se da si y solo si $HK = G$. Esto se sigue de que la función definida anteriormente es biyectiva si y solo si $HK = G$.

Comments

Lo único que no entiendo bien es cómo se sigue la demostración del hecho de que es jueves... :P

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+1 al comentario...

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Explico: Enrique y yo somos compañeros de cubículo. El día que preguntó,  que si mal no recuerdo era lunes, le dije "ya tengo una respuesta". Se la platiqué y decidimos que si nadie contestaba para el jueves, la escribía.

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jajajajaja inche tío (David). También te doy un +1 por el comentario.