Lebesgue- Riemann

Question

Si $A=[0,1]\bigcap\mathbb{Q}$. Se sabe que $1_{A}$ es Lebesque integrable pero no RIemann integrable. Como provar'ía eso?

Comments

$1_{A}$ es la función característica.

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¿Cual es la medida de Lebesgue de $A$?

Answer 1

Para ver que no es Riemann integrable está fácil. Basta ver que el límite de las sumas de Riemann no existe. Recuerda que una suma de Riemann es de la forma:

$\Sigma 1_A (x_i)(t_i-t_{i-1})$

donde los $t_i$'s son los puntos que definen la partición y $x_i\in(t_i,t_{i-1})$. Entonces toma para una suma los $x_i$'s racionales y para otra suma irracionales.

Para ver que es Lebesgue integrable es aún más fácil pues estás integrando la función característica de un conjunto medible.