medida sigma finitas

Question

Si $f$ es una funcion integrable sobre $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$, entonces $\{x\in\Omega:f(x)\neq0\}$ es $\sigma$-finita.

 

Answer 1

Llama $A_n:=\{x\in\Omega:|f(x)|\ge\dfrac{1}{n}\}$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Es obvio que el conjunto que dices es la unión de los $A_n$. Piensa por qué cada uno de éstos tiene medida finita.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Tanius:

Es claro que $A_n\subseteq\Omega$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Luego, si $\chi_{A_n}$ es la función característica en el conjunto $A_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$, entonces tenemos las siguientes estimaciones, para $n\in\mathbb{N}$ fijo,

\begin{eqnarray*}

\mu(A_n) &=& \int\chi_{A_n}{\rm d}\mu \leq \int n|f|\chi_{A_n}{\rm d}\mu\\

&\leq& \int n|f|{\rm d}\mu = n\int |f|{\rm d}\mu <+\infty.

\end{eqnarray*}

Espero que esto concluya de buena manera el problema.

Comments

Parece que supones que $f$ es positiva

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Tienes razón. Corrijo