Polinomio irreducible

Question

Sea $p>0$ un número primo impar. Demuestre que el polinomio $q(x) = x^{p}+(p-1)!$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

Answer 1

Usaremos el criterio de Eisenstein (http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_Eisenstein ... no sé por qué ya no puedo encajar vínculos aquí). Dado que $p$ es un primo impar, en particular no es el primero, así que podemos agarrar al primo inmediato anterior, llamémoslo $q$. Afirmo que $q$ satisface las hipótesis del criterio de Eisenstein: ciertamente $q$ divide a todos los términos excepto el principal (pues éstos son o bien $0$ o bien $(p-1)!$, y $q\leq p-1$). Ahora sólo necesitamos argumentar que $q^2$ no divide a $(p-1)!$: si lo dividiera, significaría que alguno de los números $k$, con $q<k<p$, es un múltiplo de $q$ (esto es consecuencia del Teorema Fundamental de la Aritmética), de los cuales el primer candidato sería $2q$. Sin embargo, por el postulado de Bertrand, debe existir un número primo entre $q$ y $2q$, como sabemos que $p$ es el siguiente primo, la conclusión es que $p<2q$ y por lo tanto no pueden existir tales $k$.

Comments

Justo la respuesta esperada, David. Enhorabuena.

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Confieso que hasta hace poco no tenía claro si el postulado de Bertrand estaba demostrado o era tan sólo una conjetura (el nombrecito "postulado" me sonaba bastante sospechoso), pero cuando vi que con eso salía este problema, finalmente me animé a buscar por la red. Ahora sé que existe una demostración, la cual espero leer pronto...

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De hecho hay varias demostraciones de Bertrand, David. Por ejemplo, y para no ir más lejos, en el número de agosto-septiembre del "American Mathematical Monthly" apareció un artículo de Ram Murty & Jaban Meher en el cual presentaron una variante de la prueba de Ramanujan al postulado de Bertrand. Hay también una prueba "del libro" debida a Erdős que puedes consultar en una de las primeras secciones del Aigner & Ziegler. Y ya entrados en gastos, quizás quieras echarle un ojo a esto también: http://elr3to.blogspot.mx/2011/05/sobre-el-postulado-de-bertrand.html