Una integral impropia clásica.

Question

Muestre que $\int_{0}^{\infty}\tfrac{{\rm sen}\ x}{x}dx$ es finita (no importa si no calcula su valor) pero que $\int_{0}^{\infty}\left|\tfrac{{\rm sen}\ x}{x}\right|dx$ diverge.

Answer 1

Sea

$$ a_k:= \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} dx $$

Es claro por la peridocidad de $\sin x$ y porque $1/x>1/y$ si $x<y$ que $a_k$ es una sucesion monotona decreciente y $a_k\rightarrow 0$.

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k$$

es una seria alternante y por lo tanto converge.

Por otra parte tenemos

$$\frac{2}{(k+1)\pi} =  \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{(k+1)\pi} dx \leq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} dx$$

Por lo que

$$ \frac{2}{\pi}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots)\leq  \int_{0}^{\infty} \frac{|\sin x|}{x} dx$$

y la integral diverge.