Una desigualdad

Question

Demuestre que para todo $x \in (0,1/2]$ se cumple que $$e^{2x}> \frac{1}{1-x}.$$

Nota. Más adelante les platicaré en Apuntes Misceláneos una demostración de la divergencia de la serie de los recíprocos de los números primos en la que se usa esta desigualdad.

(Para la audiencia de las "Degustaciones Matemáticas": una solución a este problema vale por un lápiz y/o bolígrafo del evento.)

Comments

En $x\in(0,1/2]$ es  lo mismo que $(1-x)e^{2x}>1$ y la derivada del lado izquierdo es estrictamente positiva en el intervalo dado siendo cero en 1/2. Como la función vale 1 en 0, sigue la desigualdad.

---

Me gusta, me gusta... Quizás ahora quieras probar suerte con alguna otra pregunta de las Degustaciones: http://www.irracional.org/index.php/tag/degustaciones Saludos.

---

Gracias los intentaré aunque el tiempo me queda chico. Jeje