Tengo un problema con el teorema espectral.

Question

Sean $V$ un espacio con producto interno complejo con $dimV< \infty $ y $T:V\rightarrow V$ un operador normal. Usar la descomposicion espectral, $T=\lambda _1T_1+\lambda _2T_2+\cdots +\lambda _rT_r$ para demostrar que para cada $n\in \mathbb{N}$, existe un operador normal $U:V\rightarrow V$ tal que $U^{n}=T$.

Sugerencia: Usar que para cada $\lambda _i\in \mathbb{C}$ existe $z_i\in \mathbb{C}$ tal que $(z_i)^{n}=\lambda _i$.

No encuentro el modo de probarlo :/

Comments

La sugerencia tu mismo das casi lo resuelve, el siguiente paso es considerar el operador $z_1 T_1 + \cdots + z_r T_r$.

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Entonces seria asi:
Sea $T=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r$.
Consideremos el operador $U$ tal que su descomposicion espectral esta definida por $U=z_1T_1+\cdots +z_rT_r$, entonces $U^{n}=z^{n}_1T_1+\cdots +z^{n}_rT_r$. Ahora tomemos $(z_i)^{n}=\lambda _i$, entonces $U^{n}=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r=T$, por lo tanto $U^{n}=T$.

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Estaría suave que convirtieras ese comentario en respuesta (pues eso es lo que es).

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Gracias por su ayuda, creo que si lo convertire en respuesta.
No entedia como entrarle al problema y queria demostrar que el operador T tenia inversa.

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Esto sigue siendo cierto si consideras cualquier espacio de Hilbert y V como operador normal compacto. No estoy seguro si sigue siendo cierto en general para operadores normales.

Answer 1

Sea $T=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r$.

Consideremos al operador $U$ tal que su descomposicion espectral esta definida por $U=z_1T_1+\cdots +z_rT_r$, entonces $U^{n}=z^{n}_1T_1+\cdots +z^{n}_rT_r$. Ahora tomemos $(z_i)^{n}=\lambda _i$, entonces $U^{n}=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r=T$, por lo tanto $U^{n}=T$.