Entonces seria asi:
Sea $T=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r$.
Consideremos el operador $U$ tal que su descomposicion espectral esta definida por $U=z_1T_1+\cdots +z_rT_r$, entonces $U^{n}=z^{n}_1T_1+\cdots +z^{n}_rT_r$. Ahora tomemos $(z_i)^{n}=\lambda _i$, entonces $U^{n}=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r=T$, por lo tanto $U^{n}=T$.