Topologías forman un retículo.

Question

Alguna pista para demostrar que... para cualquier colección de topologías para X hay una topología ínfima, y una topología suprema (Con el orden por inclusión).?

Es el problema (c).

Answer 1

Es fácil ver que la intersección de un bonche de topologías es también una topología, lo cual automáticamente te resuelve lo de la topología ínfima. Y también te da la topología suprema mediante el truco de tomar el ínfimo de todas las topologías extendiendo la colección deseada. Es decir, si $\{\tau_\alpha\big|\alpha\in\Lambda\}$ es tu colección de topologías, entonces define $\mathcal T$ como la colección de todas las topologías $\tau$ tales que $(\forall\alpha\in\Lambda)(\tau_\alpha\subseteq\tau)$. Nótese que $\mathcal T\neq\varnothing$, pues la topología discreta es un elemento de $\mathcal T$. Por lo tanto tiene sentido hablar de $\bigcap\mathcal T$, quien viene siendo el supremo de las $\tau_\alpha$.

Comments

Sí, lo de la topología ínfima lo resolví ayer en mi cama. Lo de la suprema, no lo entendí del todo.

Te refieres a que debo tomar la intersección de todas las cotas superiores?

Si es así, gracias.

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Exactamente, toma la intersección (el ínfimo) de todas las cotas superiores.

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Sí, ya lo tengo desde hace un rato, gracias.