Cualquier conjunto abierto de $\Bbb R^n$ es la unión de una colección contable de conjuntos cerrados.

Question

Estoy leyendo el libro The elements of real analysis de Bartle (1964) y en la sección 8 del capítulo 2 me he encontrado con la siguiente proposición:

Cualquier conjunto abierto de $\Bbb R^n$ es la unión de una colección contable de conjuntos cerrados.

He intentado pero no he llegado a algo...espero me puedan ayudar que realmente no se me ocurre como demostrarlo

Comments

Considera bolas cerradas centradas en puntos con coordenadas racionales y de radio racional

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...me puedo imaginar cómo podríamos construir al conjunto abierto utilizando bolas cerradas con centro en algún punto del conjunto y con radio racional, pero, ¿por qué el punto debe tener coordenadas racionales?

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Para que al final tengas una colección contable de bolas

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muchas gracias

Answer 1

Lo primero que tienes que convencerte es que cualquier abierto es la unión numerable de bolas abiertas con centro en $\mathbb{Q}^n$ y con radio en $\mathbb{Q}^+$ (bolas abiertas con centro y radio racional). Ahí te va un bosquejo de demostración.

Supongamos que $A \subseteq \mathbb{R}^n$ es un abierto, entonces (por definición) para todo punto $x\in A$ existe $B(r,x)$, una bola abierta de radio $r=r(x)$ con centro en $x$, tal que $B(r,x) \subseteq A$. Como el conjunto $\mathbb{Q}^n$ es denso en $\mathbb{R}^n$, entonces existe un elemento $q=q(x) \in \mathbb{R}^n$ tal que $\lVert x -q_x \rVert < r/2$. Observa que  $B(q,r/2)$, la bola abierta con centro en $q(x)$ y radio $r(x)/2$, contiene a $x$ y $B(q,r/2)\subset B(x,r) \subseteq A$.

Puedes observar que hay solo una cantidad numerable de bolas con centro y radio racional (su cardinalidad es $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ que es igual a la de $\mathbb{Q}$ que es igual a la de $\mathbb{N}$). Por lo tanto, eliminado posibles repeticiones, la expresión $\bigcup_{x\in A} B(q(x),r(x)/2)$ tiene una cantidad numerable de términos. Pero $\bigcup_{x\in A} B(q(x),r(x)/2)=A$, con lo que concluimos que todo abierto es la unión numerable de bolas abiertas con centro y radio racionales.

Para prabar que todo abierto es la unión numerable de cerrados, nota que en general toda bola abierta puede escribirse como la unión numerable de bolas cerradas. Esto es cierto ya que $B(x,r)=\bigcup_{n=n_r}^\infty B(x, r-1/n)$, donde $n_r$ es un entero suficientemente grande para que $r-1/n_r$ sea positivo.

Por lo tanto, si toda bola abierta es la unión numerable de bolas cerradas, y todo abierto es la unión numerable de bolas abiertas, podemos concluir que todo abierta es la unión numerable de bolas abiertas (otra vez, por la cardinalidad de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ es la misma que la de $\mathbb{N}$.

 

NOTA DE INTERÉS. Los conjuntos que se pueden escribir como unión numerable de cerrados se llaman conjuntos $F_\sigma$ en la literatura. Quizá te llame la atención leer sobre la jerarquía de Borel. Observa que esta misma demostración puede utilizarse para cualquier espacio métrico separable.

Answer 2

Hola aqui una manera de ver esto. Sea $U$ un conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$, entonces $C=\mathbb{R}^n-U$ es cerrado. Considera los conjunto $$F_k=\{x\in U:dist(x,C)\geq\frac{1}{k},k\in\mathbb{N}\}$$, entonces $F_k$ es cerrado y  $U=\cup_{k\in\mathbb{N}} F_k$.