Residuos cuadráticos

Question

Hola, en clases mi profesor nos dio unos ejemplos de cuáles eran residuos cuadráticos y cuáles no. La verdad es que no puedo distinguir cuáles no son residuos cuadráticos. Por ejemplo, en módulo $3$ tenemos que el conjunto de residuos cuadráticos es $\{0,1\}$ porque $0^2\equiv 0\pmod 3$ y $1^2\equiv 1\pmod 3$, pero los no residuos cuadráticos no me queda claro, aún así mi profesor afirma que los no residuos es $\{2\}.$

Comments

Nota que $2^2=4\equiv1\pmod3.$

Answer 1

$2$ es un resto no cuadrático módulo $3$ pues la ecuación $x^{2} \equiv 2 \pmod{3}$ NO tiene solución. En efecto,

Si $x \equiv 0 \pmod{3}$ entonces $x^{2} \equiv 0 \pmod{3}$,

si $x \equiv 1 \pmod{3}$ entonces $x^{2} \equiv 1 \pmod{3}$ y

si $x \equiv 2 \pmod{3}$ entonces $x^{2} \equiv 1 \pmod{3}$.

En ninguno de los tres casos se cumple que $x^{2}$ sea congruente con $2 \pmod{3}$.