Question

¿Existe alguna superficie (dos-dimensional) que no pueda ser parametrizada?

Comments

¿Qué entiendes por parametrizada?

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Hola, gracias por el interés, me refiero a que existe un mapeo $\Phi:D\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ de manera que $\Phi(D)$ es el lugar geométrico de los puntos que constituyen a la superficie.

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Ok, supongo entonces que esperas al menos que $\Phi$ sea continuo, ¿no? Si usamos como definición de superficie la de 2-variedad, entonces si tu superficie es compacta, la respuesta es no, usando el teorema de clasificación para 2- variedades compactas, que dice que cualquier superficie es o la esfera, o la suma conexa de $n$ toros o la suma conexa de $n$ proyectivos. Ahora, siendo un poco tramposos, con tu definición ni la botella de Klein ni el espacio proyectivo se pueden parametrizar, porque ambas son 2-variedades que viven en $\mathbb{R}^4$.

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Que tal nuevamente muchas gracias. Por lo que veo existe una definición más general, pues mencionas: "con mi definición". ¿Cuál es? Por otro lado, si entendí bien el teorema de clasificación de las 2-variedades compactas nos dice que no es posible por el detalle de que nuestra variedad puede ser suma conexa de proyectivos. En este caso el problema es el espacio ambiente, pero ¿será cierto para las 2-variedades que viven específicamente en $\mathbb R^3$?

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Según yo la definición de superficie es cualquier 2-variedad, y efectivamente lo que fallaría en el caso de los proyectivos sería el espacio ambiente. Volviendo a tu pregunta, si nos restringimos a superficies compactas en $\mathbb{R}^3$, la respuesta sigue siendo no, ya que tanto la esfera como el $n$-toro son parametrizables.