Ok, supongo entonces que esperas al menos que $\Phi$ sea continuo, ¿no? Si usamos como definición de superficie la de 2-variedad, entonces si tu superficie es compacta, la respuesta es no, usando el teorema de clasificación para 2- variedades compactas, que dice que cualquier superficie es o la esfera, o la suma conexa de $n$ toros o la suma conexa de $n$ proyectivos. Ahora, siendo un poco tramposos, con tu definición ni la botella de Klein ni el espacio proyectivo se pueden parametrizar, porque ambas son 2-variedades que viven en $\mathbb{R}^4$.