Solución de un límite algebraico y exponencial

Question

Hola. ¿Cómo puedo hacer para calcular el siguiente límite? Tengo que hacerlo sin usar la regla de L'Hopital. Ya lo intenté, pero no lo pude conseguir.

 

$\displaystyle \lim_{x  \to  \infty}{\frac{3e^{x}-1}{x^{2}-1}}$ .

 

Lo más que pude hacer fue reducirlo a  $\displaystyle 3\lim_{x  \to  \infty}{\frac{e^{x}}{x^{2}}}$ . Ya no sé qué más puedo hacer. Les pido su ayuda.

Comments

Hola:

Observa que el límite en infinito del numerador y el denominador es infinito, así que puedes intentar usar la regla de L'Hopital.

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¡Oh, cómo olvidé especificar que debo calcularlo sin usar la famosa regla de L'Hopital! Lo siento. Ya lo he corregido.

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Sin embargo, por curiosidad, ya había aplicado la regla de L'Hopital y obtuve que el valor del límite es infinito, $\infty$.

Answer 1

¿Conoces la desigualdad $e^x \ge x+1$, válida para toda $x$? Puedes usarla para decir que $e^x = (e^{x/3})^3 \ge (1+x/3)^3$, de modo que $\frac{e^x}{x^2} \ge \frac{(1+x/3)^3}{x^2} \ge x/27 \to \infty$.

Fíjate que aquí solo necesitamos la desigualdad para $x$ grande y probarla para $x \ge 0$ es fácil: sabemos que $e^t \ge 1$ para $t \ge 0$; integrando de $t=0$ a $t=x$, obtenemos $e^x - 1 \ge x$.

Comments

Interesante. Puedo entender lo siguiente: ya que $\lim_{x  \to  \infty}{\frac{x}{27}}=\infty$ y $\frac{e^{x}}{x^{2}} \geq \frac{x}{27}$, se tiene que $\lim_{x  \to  \infty}{\frac{e^{x}}{x^{2}}}=\infty$ porque siempre el valor de $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ es mayor o igual que el de $\frac{x}{27}$ y como $\frac{x}{27}$ tiende al infinito cuando $x$ tiende al infinito, entonces $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ tiende al infinito cuando $x$ tiende al infinito. Así es, ¿cierto?

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Sí, exactamente.