¿Conoces la desigualdad $e^x \ge x+1$, válida para toda $x$? Puedes usarla para decir que $e^x = (e^{x/3})^3 \ge (1+x/3)^3$, de modo que $\frac{e^x}{x^2} \ge \frac{(1+x/3)^3}{x^2} \ge x/27 \to \infty$.
Fíjate que aquí solo necesitamos la desigualdad para $x$ grande y probarla para $x \ge 0$ es fácil: sabemos que $e^t \ge 1$ para $t \ge 0$; integrando de $t=0$ a $t=x$, obtenemos $e^x - 1 \ge x$.