La matrix $A := \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ es diagonalizable porque sus valores propios son distintos (para una matriz triangular los valores propios son los elementos de la diagonal. Pero si $B := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$, entonces $AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ no es diagonalizable.