Reparametrizar de otras formas

Question

¿Hay otras formas interesantes ó importantes de reparametrizar una curva que no sea por longitud de arco?.

Answer 1

A mi me gusta pensar la geometría diferencial clásica de curvas como "teoría de montañas rusas". La parametrización por longitud de arco es esencial cuando quieres tratar a la curva como un objeto estático, pero en la práctica una curva es sólo una trayectoria en la que suceden cosas interesantes. ¿Qué cosas? Bueno, eso depende de tu problema, pero para no ir muy lejos pensemos sólo en problemas físicos...

En una montaña rusa la parametrización está dada por la masa y velocidad inicial del carrito. Un objetivo es que la aceleración cambie de casi cero hasta vectores relativamente grandes, pero si tiene un componente grande en dirección opuesta a la curvatura, debes calcular la tensión en el sistema de seguridad para que no salgan volando los pasajeros. Si hay una componente grande en la dirección de la torsión, el carrito se vuelca de lado, etc.

Y por supuesto, otro ejemplo importante es el de las elipses, que nadie en su sano juicio parametriza por longitud de arco, sino de tal manera que se cumpla la segunda ley de Kepler de movimiento planetario. Esta se puede entender de manera intuitiva "dándole la vuelta al mundo" con un yoyo; cuando vie de regreso, el yoyo acelera, da vuelta alrededor de tu mano (el foco) con mucha fuerza y baja mucho más despacio. Nota: Esto no modela bien la ley de Newton porque la cuerda no genera una fuerza de atracción sobre el yoyo que sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia... Pero es suficiente para entender que una curva tiene mucho más que ofrecer cuando es dinámica que cuando es estática.