Cuaterniones racionales

Question

Si tengo a los cuaterniones racionales $\mathbb{H}$  ahora considero el anillo de polinomios:

$\mathbb{Q}[X,Y,Z]$ y el ideal $ I= (X^2 + 1, Y^2 + 1, Z^2 + 1, XY-Z, YZ-X, ZX-Y) $  entonces no hay que pedir algo mas en las varibales $X,Y,Z$ para que $ \mathbb{Q}[X,Y,Z]/I \approx{\mathbb{H}} $

 

 

Answer 1

El anillo $\mathbb{Q}[X,Y,Z]/I$ es conmutativo y por lo tanto no es isomorfo a $\mathbb{H}$.

Si empiezas mejor con el anillo (asociativo, con $1$) no-conmutativo $\mathbb{Q}\langle X, Y, Z \rangle$ (en la notación de Enrique) y tomas el cociente por el ideal bilateral generado por los polinomios listados sí obtienes los cuaternios racionales. ¡Esto de hecho es la primer definición que hubo de los cuaternios! Bueno, casi, eso de mencionar explícitamente la asociatividad creo que no se acostumbraba, ni es de esa época la observación de que imponer relaciones en un anillo es tomar el cociente por el ideal bilateral generado. Y si quieres un conjunto más pequeño de relaciones que implican las listadas, puedes usar las que le vinieron a Hamilton en momento de inspiración mientras cruzaba el puente Brougham: $\mathbb{H} = \mathbb{Q} \langle X, Y, Z \rangle / (X^2 + 1, Y^2 +1, Z^2+1, XYZ+1)$. Se supone que las grabó en el puente con su navaja. Creo que esa copia de la ecuaciones ya no se ve, pero pusieron esta plaquita:

Comments

Entonces se podría pedir que las variables no conmuten, algo que no estoy tan seguro

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Necesitas trabajar en $R=\mathbb{Q}\left<X,Y,Z\right>$ el cuál es el anillo de polinomios en variables no conmutativas; se puede ver que $R/R^{\prime}\cong\mathbb{Q}[X,Y,Z]$.

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Ya agregué el comentario de Enrique a la respuesta, con el añadido explícito de que empezando con el anillo asociativo libre en tres variables las relaciones que listaste sí definen los cuaternios.