Hay muchas maneras de demostrarlo, pero a ver esta: primero, debes notar que entre $1$ y $k$ hay $\left\lfloor{\frac{k}{n}}\right\rfloor$ múltiplos de $n$ ($n, 2n,\ldots, \left\lfloor{\frac{k}{n}}\right\rfloor n$) y esto implica que el exponente de un primo $p$ en la factorización de primos de $m!$ está dado por $$\sum_{r=1}^{\infty}\left\lfloor{\frac{m}{p^r}}\right\rfloor$$ Esta fórmula es conocida como la fórmula de Legendre. Por otra parte, si $x$ es un número real entonces $\left\lfloor{2x}\right\rfloor-2\left\lfloor{x}\right\rfloor$ es igual a $0$ o $1$. Ahora, utiliza la fórmula de Legendre para hallar el exponente de 2 en la factorización de primos de $\binom{2k}{k}$ y tendrás el resultado.