mostrar que $\binom{2k}{k}$ es par

Question

Hola compañeros, les dejo un problema que se me ocurrió el otro día, tengo dos soluciones  medio creativas, quería ver si hay otras. La pregunto consiste en probar que $\binom{2k}{k}$ es par para todo $k$ entero positivo.

Answer 1

Tu número cuenta cuantas formas hay de escoger $k$ objetos de entre una colección con $2k$ elementos. Pero para cada elección existe una complementaria que consiste en escoger los $k$ objetos restantes. Como todas las elecciones quedan apareadas, su número total debe ser par.

Answer 2

Hay muchas maneras de demostrarlo, pero a ver esta: primero, debes notar que entre $1$ y $k$ hay $\left\lfloor{\frac{k}{n}}\right\rfloor$ múltiplos de $n$ ($n, 2n,\ldots, \left\lfloor{\frac{k}{n}}\right\rfloor n$) y esto implica que el exponente de un primo $p$ en la factorización de primos de $m!$ está dado por $$\sum_{r=1}^{\infty}\left\lfloor{\frac{m}{p^r}}\right\rfloor$$ Esta fórmula es conocida como la fórmula de Legendre. Por otra parte, si $x$ es un número real entonces $\left\lfloor{2x}\right\rfloor-2\left\lfloor{x}\right\rfloor$ es igual a $0$ o $1$. Ahora, utiliza la fórmula de Legendre para hallar el exponente de 2 en la factorización de primos de $\binom{2k}{k}$ y tendrás el resultado.

Comments

Eso de que $\lfloor 2x\rfloor-\lfloor x\rfloor$ es $0$ o $1$ no necesariamente es cierto para $x$ real, considera por ejemplo $x=2$ o incluso $x=1.5$. Creo que el argumento más bien va por el lado de que, usando la fórmula de Legendre, el exponente de $2$ en la factorización en primos de ${2k \choose k}$ tiene que ser (dejando que $n$ sea el único número natural tal que $2^n\leq k<2^{n+1}$)
\begin{equation*}
\sum_{r=1}^{n+1}\left\lfloor\frac{2k}{2^r}\right\rfloor-\sum_{r=1}^n\left\lfloor\frac{k}{2^r}\right\rfloor=k+\sum_{r=1}^n\left\lfloor\frac{k}{2^r}\right\rfloor-\sum_{r=1}^n\left\lfloor\frac{k}{2^r}\right\rfloor=k,
\end{equation*}
por lo tanto el exponente de $2$ en la factorización en primos de ${2k \choose k}$ es al menos 1 (tan pronto como $k$ lo sea), es decir, ${2k \choose k}$ es par.

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Ups, gracias por la corrección, es que de alguna manera me confundí con $\left\lfloor{2x}\right\rfloor-2\left\lfloor{x}\right\rfloor$

Answer 3

yo tenía dos soluciones:

 

la primera es $\binom{2k}{k}=\sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j}^2$ lo cual tiene la misma paridad que $\sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j}=2^k$

 

la segunda es que $\binom{2k}{k}=2^{2k}-\sum_{j=0}^{k-1}\binom{2k}{j}-\sum_{j=k+1}^{2k}\binom{2k}{j}$ Usando que $\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}$ nos queda que lo último es igual a $2^{2k}-2\sum_{j=0}^{k-1}\binom{2k}{j}$

Comments

@Jorge: Vale la pena borrar tu otra cuenta para acumular puntos en una sola...

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Muy bonita tu primera solucion.

Answer 4

La gráfica de Kneser $K(2k,k)$  tiene ${2k \choose k}$ vértices y es $1$-regular, luego tiene un número par de vértices (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Kneser_graph).

Answer 5

Mas facil...

La suma de binomios $\binom{2k}{j}$ es igual a $2^{2k}$. Como el de enmedio no tiene pareja, tiene que ser par. Esta es la segunda solución de gamamal, pero creo mas clara.

Comments

Esa era mi primera solución

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Digo mi segunda solución. Cómo le hago para borrar una cuenta?

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Nada mas no la uses...

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no puedo, siempre que prendo la compu me conecta automáticamente con la de facebook.

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Buena simplificación de la idea, Rodrigo, ideal para el aficionado aritmético común, como uno.